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Démonstration ln(1+x) <= x pour x>=
Message de lucas posté le 15-01-2009 à 19:34:29 (S | E | F)
Bonjour, mon problème est simple: je souhaite démontrer mathématiquement que pour tout x>=0, on a ln(1+x) <=x. Si possible sans l'usage des limite mais par la voie algébrique.
Merci d'avance,
Lucas
Message de lucas posté le 15-01-2009 à 19:34:29 (S | E | F)
Bonjour, mon problème est simple: je souhaite démontrer mathématiquement que pour tout x>=0, on a ln(1+x) <=x. Si possible sans l'usage des limite mais par la voie algébrique.
Merci d'avance,
Lucas
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de bridg, postée le 15-01-2009 à 19:40:46 (S | E)
Bonjour,
c'est bien
Et vous en êtes où? Nous ne pouvons le faire intégralement pour vous
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de lucas, postée le 15-01-2009 à 19:47:34 (S | E)
Merci pour votre réponse immédiate.
hé bien à vrai dire n'en sors pas ! J'ai essayé de soustraire x de chaque côté de l'inégalité et puis de prendre l'exponentielle de chaque membre mais après quelques manipulations j'arrive à l'inégalité x+1 <= exp(x) qui n'est pas plus simple à démontrer que l'inégalité de départ.
Ma démarche est la suivante :
ln(x+1)<=x <=> exp(ln(1+x)-x)<= exp(0)=1 <=> exp(ln(1+x))*exp(-x)<= 1 <=>
(x+1)*exp(-x)<=1 <=> x+1
en fait je tourne en rond ;-)
Merci encore pour votre aide.
Lucas
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de lucas, postée le 15-01-2009 à 20:22:24 (S | E)
en fait lorsque j'arrive à l'inégalité exp(x)>=x+1 je me dis en pensant graphiquement que :
1° en x=0, on a effectivement exp(x)=x+1
2° que si on dérive chacun des membres de l'inégalité on trouve:
dérivée de exp(x)= exp(x)
dérivée de (x+1) = 1
3° je conclus que la pente de exp(x) est en tout point supérieure à la pente de la droite (x+1) qui est bien évidenmment 1 et donc que en partant d'un même point pour x=0 exp(x) croit plus vite que (x+1).
Tout ça m'indique que l'inéalité de départ est vraie mais j'aimerais une démonstration plus claire (si possible algébrique).
Merci encore.
Lucas
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de iza51, postée le 15-01-2009 à 21:46:08 (S | E)
bonsoir
tu peux étudier la fonction f définie sur ]-1; +∞[ par f(x)=ln(1+x) -x
cette fonction est dérivable sur son ensemble de défin,ition
f'(x)= 1/ (1+x) -1=(-x) /(1+x)
on peut montrer que la dérivée est positive sur ]-1; 0], négative sur [0; +∞[
donc ...
et comme f(0)=0, on en déduit que ...je te laisse compléter et déduire du tableau de variations le signe de f(x) et conclure
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de TravisKidd, postée le 15-01-2009 à 21:46:34 (S | E)
Pourquoi pas considérer les derivées?
-------------------
Modifié par TravisKidd le 15-01-2009 21:47
Comme iza vient de suggérer
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de lucas, postée le 15-01-2009 à 22:46:02 (S | E)
Bonsoir iza51,
J'obtiens le tableau suivant:
L'étude du signe de la dérivée -x/(1+x) donne : -x/(1+x)
<0 pour x dans l'intervalle ]-∞,-1[
-∞/+∞ pour la limite x-> -1
>0 pour x dans l'intervale ]-1,0[
0 pour x=0
<0 pour x>0
1° La fonction ln(1+x)-x est donc décroissante pour x>0
2° Pour x=0, ln(1+x)-x= ln(1-0)-0=ln(1)-0=0-0=0
De 1° et 2° on déduit que ln(1+x)-x est inférieure ou égale à zéro pour tout x>0 et donc que ln(1+x)<=x pour tout x>=0 CQFD.
En fait c'est une version plus cohérente (et plus claire) de ce que j'avais posté ci-dessus. Merci pour la solution.
Si toutefois elle existe, je serais intéressé par une démonstration purement algébrique. Par exemple, pour démontrer que ln(1+x)>ln(x), on prend l'exponentielle de chacun des membres et on obtient 1+x>x et donc que 1>0 en soustrayant x des deux côtés de l'inégalité. Cette démonstration me semble plus flagrante qu'une démonstration utilisant des dérivées.
Bref iza51, je suis convaincu par la démonstration et te remercie mais je reste un peu sur ma faim... pas toi ? Qu'en pense TravisKidd?
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de taconnet, postée le 15-01-2009 à 23:18:20 (S | E)
Bonjour.
Voici une autre démonstration.
Vous connaissez les variations de la fonction lnx.
Vous en déduisez facilement les variations de ln(x +1) ( par translation)
La droite y = x est tangente à ln(x + 1) à l'origine.
Conséquence :
pour x > 0 la tangente(y = x) est au-dessus de la courbe (y = ln(x + 1))
donc quel que soit x ≥ 0 , x ≥ ln(x + 1)
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de TravisKidd, postée le 16-01-2009 à 03:25:44 (S | E)
En utilisant le série MacLauren le résultat est évident:
exp x = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... >= 1+x pour x >= 0
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de evadja, postée le 17-01-2009 à 12:02:15 (S | E)
C'est vraiment marrant parce que je dois résoudre ce problème pour un exo de maths et je trouvais pas et voila que je tombe sur ce forum avec exactement ce que je cherche !!
Ben merci à Lucas d'avoir posé la question et à tous les autres d'avoir répondu ^^
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de ajl, postée le 17-01-2009 à 22:26:32 (S | E)
Tout dépend du niveau de la classe. A partir d'un niveau BAC +1, on aurait pu dire que la fonction f(x)= ln(x+1) est concave et la droite g(x)=x est sa tangente à l'origine. Application du th des fonctions concaves (respectivement convexes) la fonction f est située au-dessus de ses tangentes. D'où le résultat
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de ajl, postée le 17-01-2009 à 22:29:09 (S | E)
Je viens de me relire. Evidemment la concavité indique que le graphe de f est située entièrement SOUS ses tangentes. Mais je sais que le lecteur a déjà rectifié.
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de ajl, postée le 17-01-2009 à 22:42:04 (S | E)
Contrairement à ce qu'écrit TravisKidd le développement de Mac Laurin de la fonction exponentielle n'apporte pas de réponse satisfaisante car tout dépend du choix de x !
De plus quitte à employer une formule un peu sophistiquée pourquoi alors ne pas développer ln(x+1)en série de Mac Laurin et justifier ensuite que ln(x+1)< x.
Je pense que cette question est demandée par un élève de terminale qui ne connaît pas le développement en série Taylor, Mac Laurin et bien d'autres...
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de taconnet, postée le 17-01-2009 à 23:28:20 (S | E)
Bonsoir.
Un développement en série entière de ln(1 + x) n'apporterait rien puisque le rayon de convergence de cette série est 1. Nous serions donc limité dans notre étude à l'intervalle ]-1 ; 1] , et on ne pourrait alors rien affirmer pour x > 1.
En revanche le développement en série entière de ex a un rayon de convergence infini donc valable sur l'intervalle ]- ∞ ; + ∞[
Voici des liens :
Lien Internet
Lien Internet
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de TravisKidd, postée le 18-01-2009 à 02:11:23 (S | E)
Je pense que si on est au niveau où on sait que (exp x) est sa propre dérivée, alors on est au niveau où on peut développer le série Maclaurin de (exp x).
Mais je suis d'accord que tout dépend de ce qu'on est permis de considérer comme déjà prouvé.
Certes, 1+1=2 semble juste, mais....
Réponse: Démonstration ln(1+x) <= x pour x>= de lucas, postée le 24-01-2009 à 11:46:40 (S | E)
Merci pour votre aide et la variété de solutions apportées!
Lucas
