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Nombres entiers
Message de schoump posté le 18-02-2009 à 15:43:24 (S | E | F)
Bonjours pourriez-vous m'aider,à me mettre sur une piste je dois trouver deux nombres entiers naturels dont la différence des carrés soit égale à 2009.
j'ai essayé de mettre pleins d'opérations mais je ne trouve pas.
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Modifié par mariebru le 18-02-2009 16:02
Message de schoump posté le 18-02-2009 à 15:43:24 (S | E | F)
Bonjour
j'ai essayé de mettre pleins d'opérations mais je ne trouve pas.
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Modifié par mariebru le 18-02-2009 16:02
Réponse: Nombres entiers de fr, postée le 18-02-2009 à 16:21:34 (S | E)
Bonjour,
Il s'agit d'utiliser l'identité remarquable : a²-b²= ...
vous écrivez 2009 sous forme du produit de 2 facteurs (cherchez toutes les possibilités)... et vous obtenez autant de systèmes d'équations que de couples solution...
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 18-02-2009 à 19:59:20 (S | E)
A dacord merci beaucoup
Réponse: Nombres entiers de tariqmok777, postée le 19-02-2009 à 01:17:09 (S | E)
bonjour
voilà une solution plus detaillé du probleme
a²-b²=2009
=> a²-b²=2025-16
=> a²-b²=45²-4² et par comparaison des deux termes de l'egalité, on peut deduire que a=45 et b=4
NB: il peut y avoir plusieurs solution a ce probleme.
Réponse: Nombres entiers de fr, postée le 19-02-2009 à 09:43:39 (S | E)
Bonjour,
En effet, a=45 et b=4 est une solution, il y en a d'autres ...
Pour avoir toutes les solutions, sans en oublier :
On a : a²-b²=(a+b)(a-b)
On cherche donc des nombres entiers naturels (si a et b sont entiers naturels, a+b et a-b aussi car il faut a>b) tels que leur produit fasse 2009.
On a a+b>a-b>0, donc a+b est le plus grand des 2 facteurs (positifs)
En décomposant 2009 en facteurs premiers : 2009=7²*41
Donc toutes les possibilités sont:
2009=2009*1
2009=287*7
2009=49*41
Il y a donc 3 couples solution.
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 19-02-2009 à 11:15:20 (S | E)
Donc ,je me sers juste des possibilités?
Mais après je dois aussi trouver deux nombres entiers naturels dont la somme des carrés soit égale à 2009,là j'ai juste a
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Modifié par lucile83 le 19-02-2009 13:33
Réponse: Nombres entiers de fr, postée le 19-02-2009 à 13:56:32 (S | E)
En fait, il faut comprendre la méthode :
On demande à trouver tous les couples (a;b) d'entiers naturels tels que a²-b²=Nombre donné (par exemple 2009, mais pour être plus générique, prenons D)
Or a²-b²=D <=> (a+b)(a-b)=D
Ensuite on décompose D en facteurs premiers
A partir de la liste des facteurs premiers de D, on en déduit la liste des couples (a'; b') dont le PRODUIT vaut D
Finalement, pour chaque couple (a'; b') a'>b', on obtient au maximum une solution (a, b) (il faut que a et b soient entiers, donc que a'+b' soit pair)
avec a+b=a' et a-b=b', d'où a=.... et b=....
Prenons par exemple D=2015
On a D=5*13*31
Donc on distribue les facteurs de D en 2 groupes :
D=(5*13*31) * (1) = 2015*1
D=(13*31) * (5) = 403*5
D=(5*31) * (13) = 155*13
D=(5*13) * (31) = 65*31
il faut comprendre que D ne peut pas s'écrire comme un produit de 2 facteurs entiers autrement que par une de ces combinaisons ...
On obtient alors pour le premier : a+b=2015 et a-b=1, d'où a=1008 et b=1007
pour le second : a+b=403 et a-b=5 <=> a=204 et b=199
pour le troisième : a+b=155 et a-b=13 <=> a=84 et b=71
pour le quatrième : a+b=63 et a-b=31 <=> a=48 et b=17
Il vous reste à faire le même raisonnement avec 2009 ...
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 20-02-2009 à 13:40:47 (S | E)
Alors si j'ai bien compris:
a+b=2009 et a-b=1, d'où a=1010 et b=999
D=287*7=2009
2009*1
Merci de votre aide
Réponse: Nombres entiers de fr, postée le 20-02-2009 à 16:55:20 (S | E)
Bonjour,
Attention, si a+b=2009 et a-b=1, on n'a pas a=1010 ni b=999 ... à corriger
Ensuite, il faut faire la même chose pour :
a+b=287 et a-b=7
et pour :
a+b=49 et a-b=41
A vous ...
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Modifié par fr le 20-02-2009 17:10
Je viens de relire votre post où vous disiez avoir aussi à trouver a et b entiers tels que a²+b²=2009
Pour cela on peut remarquer que :
on a forcément a et b inférieur à racine carrée de 2009 (pourquoi ?)
On peut alors essayer pour toutes les valeurs de a entre 0 et racine carrée de 2009 (arrondi à l'entier inférieur) et calculer b pour voir s'il est entier ...
Pour l'instant, je ne vois pas d'autres méthodes qui vous donne toutes les solutions ...
Ici, il n'y a que 2 couples solutions : (a;b) et (b;a)
Bons calculs
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Modifié par fr le 20-02-2009 17:23
Pour limiter un peu le nombre de calculs, vous pouvez poser a<=b (et considérer ensuite l'autre réponse en intervertissant a et b) car la formule a²+b² est symétrique en a et b...
Du coup, vous pouvez vous arrêter à l'entier juste inférieur à racine carrée de (2009/2),
en effet, avec a<=b, comme a et b sont >=0, a²<=b², donc 2a²<=a²+b²=2009
donc a²<=2009/2, a<=racine carrée de (2009/2)
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 20-02-2009 à 19:17:25 (S | E)
Je n'arrive pas a comprendre comment faire.
je sais cela est inquietent
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 21-02-2009 à 14:17:29 (S | E)
c'est 2009-35²=784
784 sa RACINE carré est 28
Donc 2009=35²*28
Réponse: Nombres entiers de fr, postée le 21-02-2009 à 20:31:09 (S | E)
Bonsoir,
C'est bien cela, à deux fautes de frappe près : 2009=28²+35² (ou 35²+28²)
Réponse: Nombres entiers de schoump, postée le 22-02-2009 à 12:20:30 (S | E)
Encore merci beaucoup pour votre aide .
