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Factorisation d'un polynôme

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Factorisation d'un polynôme
Message de nounous posté le 13-01-2019 à 00:07:45 (S | E | F)
Bonsoir. J'ai un problème avec un exercice de factorisation d'un polynôme.

Le polynôme est: p(x)=x^3-x^2+x+3

Consigne: mettre p(x) en produit de facteur premier

Ma réponse: j'ai factorisé -x^2+x+3 en passant par la forme canonique. Mais le plus grand problème c'est de comment faire avec x^3 ?

Merci pour vos réponses et explications

Nb: c'est un exercice pour un élève de la 2ndS

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Modifié par nounous le 13-01-2019 00:08




Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 13-01-2019 à 09:53:54 (S | E)
Bonjour
* mettre p(x) en produit de facteur(s) <s>premier</s>
Voir que x=-1 est une racine de P(x) et par conséquent P(x)=(x+1)*Q(x) où Q(x) est un polynôme du second degré .Déterminer Q(x) et voir s'il peut se mettre sous forme de produit ?



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 13-01-2019 à 13:12:49 (S | E)
Bonjour merci pour votre intérêt.
J'ai effectivement vérifié d'après la première question que -1 est une racine de p(x). Son nom est alpha d'après l'exercice.
Si je comprends bien (x+1) de la première expression de votre réponse provient de x-alpha où alpha=-1 (alpha est enfaite la racine de p(x) d'après votre explication et ma vérification)

J'ai trouvé le polynôme
Q(x)=(x-1)² + 2

Ainsi p(x)=(x+1)(x-1)² + 2

Je vous remercie pour me dire s'il n'y a pas d'erreurs.

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Modifié par nounous le 13-01-2019 13:28





Réponse : Factorisation d'un polynôme de redouane, postée le 13-01-2019 à 13:21:44 (S | E)
Ou peut on trouve des cours de sciences en ligne pour mon examen du t7 et t8



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 13-01-2019 à 13:32:16 (S | E)
Q(x)=(x-2)(x+1)(faux)
Ainsi p(x)=(x+1)(x-2)(x+1)faux-par simple vérification en développant ce résultat de p(x),vous trouvez que c'est différent
de p(x)=x^3-x²+x+3

**Q(x) est un polynôme du second degré et il s'écrit Q(x)=ax²+bx+c .Sachant que x^3-x²+x+3=(x+1)(ax²+bx+c).Développer et ordonner le second membre puis appliquer la règle pour que deux polynômes soient égaux pour trouver les coefficients a,b et c?



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 13-01-2019 à 18:25:37 (S | E)
J'ai trouvé le polynôme
Q(x)=(x-1)² + 2 (c'est malheureusement encore faux).Vous ne montrez pas le détail des calculs pour voir comment vous faites et savoir où se situe l'erreur ? Envoyer donc le détail de ce que vous aviez fait?



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 13-01-2019 à 21:19:29 (S | E)
Merci pour votre réponse.
P(x)=(x+1)[(x-1)² + 2]

J'ai vérifié et ça passe.

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Modifié par nounous le 13-01-2019 21:29





Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 13-01-2019 à 22:49:29 (S | E)
Ah!excuse.Votre réponse est tout à fait juste .Mon erreur venait du fait que je lisais P(x) à la place de Q(x) .Excusez cette étourderie de ma part .
Effectivement la réponse est P(x)=(x+1)[(x-1)² + 2] et qu'on peut parfaitement encore bien écrire P(x)=(x+1)(x²-2x+3) ,étant donné que Q(x)=x²-2x+3 n'a pas de racine car le discriminant est négatif .
Bonne nuit .



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 13-01-2019 à 23:43:17 (S | E)
Merci à vous



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 14-01-2019 à 23:36:47 (S | E)
Bonsoir
Permettez-moi de vous rappeler que vous n'aviez toujours pas fait preuve de réponse à ma question clé "(voir précédent message du 13/01/2019 posté à 18h25'37" pour faire preuve de justification du résultat "trouvé"mais non démontré et que ce n'est pas à travers une simple vérification que l'on peut croire la remplacer par une démonstration et ce serait faux .Comme je vous avais montré comment "obtenir le premier facteur (x+1)de la décomposition du polynôme P(x) ,il est évidemment clair "de montrer comment obtenir le second facteur [(x-1)²+2]?. Pour nous assurer que vous aviez compris et que vous saviez faire ,je vous demande encore une fois de nous présenter votre justification (autrement dit votre démonstration ) sans quoi vous n'auriez répondu qu' à la moitié de la question du problème et par conséquent la réponse restera toujours suspendue .
Je vous précise que sur les cinq méthodes que j'avais préalablement étudiées répondent à la question mais celle que vous aviez probablement choisi est la seule qui permet de trouver le résultat trouvé sous la forme [(x-1)²+2] .(après finition de l'exercice ,je vous donnerait l'additif) .
Je suis toujours là pour vous aider .Bonne continuation - Bon courage et Merci.



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 15-01-2019 à 00:18:47 (S | E)
Bonsoir à vous merci. Je vous remercie pour votre réponse. En effet cet exercice a été déjà résolu avec un professeur. il ne contient pas d'erreur, à part si vous en voyez. nous sommes même arrivés à déterminer le signe de ce polynôme.

je vous remercierai pour une conclusion définitive de cet exercice

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Modifié par nounous le 15-01-2019 00:20





Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 09:38:09 (S | E)

Vous m'aviez mal compris.Je vous demandais de "justifier votre réponse" et non pas "qu'il y avait une erreur dans votre réponse",pas du tout. Comme je vous l'avais confirmée "votre réponse est exacte" mais non justifiée!En voici brièvement quelques méthodes en additif qui peuvent être toujours encore utiles:






Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 09:39:15 (S | E)





Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 09:40:44 (S | E)





Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 09:44:13 (S | E)
Par conséquent,le résultat n'est pas évident .L'essentiel est que vous ayez parfaitement bien compris .Merci à vous et bonne chance .



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 15-01-2019 à 15:59:11 (S | E)
Bonsoir. je vous remercie encore pour l'éclairement, moi je suis passée par Hörner. c'était la méthode la plus simple pour trouver Q(x). ensuite j'ai fait la forme canonique de Q(x) puis je l'ai factorisé pour en parvenir à un polynône du 1er degré comme l'indique le polynôme : p(x)=(x+1)[(x-1)² + 2]
où Q(x)=[(x-1)² + 2]

Je vous remercie également de m'avoir montré la méthode par factorisation. Mais je ne comprends pas vraiment comment ça se passe. Pourriez-vous m'expliquer clairement cette méthode?
Merci encore



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 20:10:12 (S | E)

"moi je suis passée par Hörner. c'était la méthode la plus simple pour trouver Q(x). ensuite j'ai fait la forme canonique de Q(x) puis..."
C'est ce qu'il fallait répondre à ma question que je n'avais cessé de réclamer et ne pas attendre 3 jours!Maintenant que votre réponse est claire ,précise et complète ,je ne peux encore que reconfirmer à nouveau que j'avais raison de vous signaler que votre résultat de Q(x)=(x-1)²+2 est faux en appliquant la méthode de Horner .Pourquoi?parce que vous vous êtes trompée dans le processus d'application de cette méthode .Ce n'est pas la forme exacte que devrait vous donner la méthode .La forme exacte est directement donnée par le résultat final Q(x)=x²-2x+3 .Autre raison logique et évidente ,étant donné que -1 est une racine de P(x),alors (x+1)est un diviseur de P(x) et par conséquent le reste est nul.Quand à la forme canonique,il n'y avait pas de peine à prendre ,elle n'avait pas raison d'être.Ainsi soit il et pour mettre toutes ses choses en évidence et en clair,voici donc à quoi consiste l'application de la méthode de Horner (voir ci dessous)



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Modifié par wab51 le 15-01-2019 20:28





Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 15-01-2019 à 20:19:04 (S | E)

 Espérant cette fois que vous portiez votre bonne attention de compréhension et d'analyse .Merci





Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 15-01-2019 à 21:34:50 (S | E)
Bonsoir je vous remercie.
je vous rappelle également que la consigne était de mettre P(x) sous la forme d'un produit de facteurs de degré 1.
J'ai fait tout ce que vous m'aviez dit de faire mais je tombe au même résultat.



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 15-01-2019 à 21:52:41 (S | E)
Je vais ajouter que le résultat final du polynôme Q(x) est sa forme factoriséé. En effet, je suis passéé par la forme canonique pour aboutir au résultat final. Tandis qu'on veut déterminer un polynôme p(x) de degré 1



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 16-01-2019 à 01:39:56 (S | E)
Bonsoir encore. Voici la méthode:

x² - 2x + 3=[(x-2/2)² - (2/2)² + 3)]
=[(x-1)² - 4/4 + 3]
=[(x-1)² - (4-12)/4]
=[(x-1)² + 2]

Comme þ=2>0 alors cette écriture n'est pas factorisable d'où :
P(x)=(x+1)[(x-1)² + 2]



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 16-01-2019 à 12:58:10 (S | E)
Comme þ=2>0 et qu'on ne peut pas faire apparaître une différence entre deux carrés de forme a²-b² alors cette écriture n'est pas factorisable d'où :
P(x)=(x+1)[(x-1)² + 2].
*On peut aussi utiliser la méthode du discriminant(si c'est dans votre programme):
Effectivement Q((x)=x²-2x+3 ne peut se mettre sous forme de produit de deux facteurs du premier degré en x ,tout simplement parce que le discriminant de ce trinôme du second degré qui est ∆=b²-4ac=(-2)²-4(1)(3)= -8 donc ∆<0 ,Q(x) n'a pas de racine ,donc Q(x) ne peut se factoriser sous forme de produit de deux facteurs du premier degré en x .



Réponse : Factorisation d'un polynôme de wab51, postée le 16-01-2019 à 13:19:59 (S | E)
Voilà,même si on pense que cela a été un peu long et harassant mais on pourra aussi toujours dire qu'on avait tiré un grand profit de connaissances utile ,riche et fertile .
Je vous remercie pour votre gentillesse , votre effort et votre passion d'aller toujours plus loin .Bonne chance et bonne réussite .



Réponse : Factorisation d'un polynôme de nounous, postée le 16-01-2019 à 15:33:12 (S | E)
Bonsoir je vous remercie.
Vraiment cet exercice était très agréable après vos explications et exemples. Merci encore pour votre participation, votre temps que vous perdez ici en nous aidant prouve que vous êtes vraiment un amoureux des mathématiques.
Merci encore et à plus






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