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Nombre dérivé voiture-garage

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Nombre dérivé voiture-garage
Message de canthon posté le 22-01-2021 à 18:47:01 (S | E | F)

Bonjour, je m'appelle Jules, je suis en première en spé maths. J'ai vraiment besoin d'aide pour ce devoir, voici le sujet :

Une voiture roule de nuit sur une route nationale matérialisée par un arc de parabole d'équation y= x^2. Les distances sont exprimés en km. Une départementale est matérialisée par l'axe des abscisses. Une station service est située au point de jonction des deux routes et un garage se situe au bord de la départementale à 1km de la statiln service. Quand la voiture s'approche de la station service, ses phares éclairent directement le garage .

À quelle distance la voiture se trouve t-elle du garage ? 

C'était le sujet on est sur les nombres dérivé, on a vu seulement les formules de la tengente et f'(a) avec les limites. Merci de m'aider . 😭




Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de wab51, postée le 22-01-2021 à 19:59:51 (S | E)

Bonsoir 

Je pense que vous avez tous les éléments nécessaires pour répondre au sujet .Pour bien vous fixer les idées ,aidez-vous de la figure et montrez ce que vous aviez essayé de faire .





Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de wab51, postée le 22-01-2021 à 21:10:17 (S | E)
Lien internet


-------------------
Modifié par wab51 le 23-01-2021 14:53





Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de wab51, postée le 23-01-2021 à 10:18:34 (S | E)
Quand la voiture s'approche de la station service, ses phares éclairent directement le garage .On comprend de cette phrase que" la direction de la lumière des phares est sur la direction de la droite tangente à la courbe : y=x² au point V (V voiture),et que cette tangente passe aussi par le point G (G garage).De là, le plan est rapporté à un repère orthonormé (0,i,j) dont la route est matérialisée par l'arc de parabole C_f d'équation y=x² ,le garage par le point G(1,0) et la voiture V(a,f(a)) .
1) Déterminer le nombre dérivé f'(a) qui n'est autre que le coefficient directeur de la droite tangente (VG) à C_f au point d'abscisse a en appliquant la définition : f'(a)=lim (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0.
2)Remplacer f'(a) par sa valeur trouvée dans 1) dans l'équation de la tangente (VG) : y=f'(a)(x-a)+f(a) puis sachant que le point G(1,0) est un point de cette tangente et par conséquent ses coordonnées x=1 et y=0 vérifient cette équation ,on obtient une équation du second degré en a dont il faut trouver les valeurs de a solutions de l'équation dont l'une des deux valeurs solutions est l'abscisse de V que l'on cherche .
3)Connaissant son abscisse calculée dans 2) et de plus V est un point de l'arc de courbe C_f et par conséquent ses coordonnées vérifient l'équation y=x² .Déterminer l'ordonnée de V ?
4)Connaissant les coordonnées des deux points V et G ,il suffit d'appliquer la formule GV²=(x_V - x_G)² + (y_V - y_G)² pour trouver la distance GV?
Transmettez vos réponses en suivant l'ordre des questions .Bon courage et bonne continuation .



Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de canthon, postée le 23-01-2021 à 18:56:00 (S | E)
Merci beaucoup. Je vous transmettrez ma réponse concernant la distance exacte. Je vous remercie pour l'aide. Je pense pouvoir le faire...enfin j'espère.



Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de canthon, postée le 24-01-2021 à 14:12:15 (S | E)
Bonjour je n'arrive vraiment pas malgré votre aide. Voici où j'en suis :
1) T(h)= f(a+h)-f(a)/h = (a+h)^2-a^2 /h = a^2 + 2ah + h^2 - a^2 /h = 2ah +h /h = 2ah/h + h^2/h = 2a + h
lim 2a+h = 2a
h tend vers 0

Le coefficient de la droite (VG) passant par les pts U et G est 2a. f'(a) = 2a

2) La tengente Cf en A est la droite T passant T passant par A et de coefficient directeur f'(a).
y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = 2a (x-a) + a^2
Voila je suis complètement bloqué là.. pitié est ce que qlq pourrait m'aider. Je ne sais pas quoi est a, ni comment compléter l'équation. 😔



Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de tiruxa, postée le 24-01-2021 à 14:22:26 (S | E)
Bonjour

Wab51 que je salue vous a très bien expliqué. Je le cite :

"puis sachant que le point G(1,0) est un point de cette tangente et par conséquent ses coordonnées x=1 et y=0 vérifient cette équation ,on obtient une équation du second degré en a dont il faut trouver les valeurs de a solutions de l'équation dont l'une des deux valeurs solutions est l'abscisse de V que l'on cherche"

Donc en résumé remplacer x par 1 et y par 0 puis déterminer a, il y aura deux solutions une seule convient; en regardant la figure vous comprendez laquelle.



Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de canthon, postée le 24-01-2021 à 15:32:51 (S | E)

Voici où j'en suis ainsi que mes réponses, je vous remercie de votre aide. Veuillez s'il vous plait me dire là où j'ai faux, valider où rectifier les parties où j'ai mal expliqué. Merci bcp.



1) T(h)= f(a+h)-f(a)/h = (a+h)^2-a^2 /h = a^2 + 2ah + h^2 - a^2 /h = 2ah +h /h = 2ah/h + h^2/h = 2a + h

lim 2a+h = 2a

h tend vers 0


Le coefficient de la droite (VG) passant par les pts U et G est 2a. f'(a) = 2a


2) La tengente Cf en A est la droite T passant T passant par A et de coefficient directeur f'(a).

y = f'(a)(x-a)+f(a)

y = 2a (x-a) + a^2

y= 2a (1-a)+ a^2

0= 2a (1-a) + a^2


3) a^2 + 2a =0

a(a+2) =0

Δ = b^2 -4ac = 2^2 - 4*1*0 = 4 - 0 = 4

on a dc 2 solution mais on le savais deja car a(a+2) =0 Un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteur est nul 

soit a=0

soit a + 2 = 0 cad a = -2

Ici c'est -a qui = -2 donc a = 2

 

4) GV = √(xv - xg)^2 + (yv-yg)^2 = √(2-1)^2 + (4-0)^2 = √(1)^2 + (4)^2 = √(1+ 16) = √17

la voiture se trouve  ~ 4,12 km du garage





Réponse : Nombre dérivé voiture-garage de tiruxa, postée le 24-01-2021 à 15:41:40 (S | E)
C'est bon dans l'ensemble, mais une erreur de signe à corriger absolument :

A partir de 0= 2a (1-a) + a^2

quand on développe on obtient 0= 2a - 2a² + a² ou encore 0= -a² + 2a et enfin 0 = a(-a+2)

Voilà pourquoi on trouve a = 2 (et non pas -2)

Ensuite dans le 2°) il faut une ligne d'explication avant de remplacer x par 1 et y par 0

Du genre puisque la tangente passe par G(1,0)....

Le reste est bon.




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