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Convergence
Message de californie67 posté le 04-10-2008 à 18:45:08 (S | E | F)
bonsoir à tous ,pourriez vous m'aider à comprendre :comment savoir si une suite converge ou pas
je sais pas si c 'est le faite que sa limite doit être finie
car si c le cas alors je ne comprends plus rien car j'ai fait un exercice et on me demande de conjecturer :
donc y faudrait etudier la variation de la fonction et sa convergencE... JE SUIS PERDUE VOTRE AIDE ME SERAS D'UN GRAND SECOURS MERCI PAR AVANCE
Réponse: Convergence de californie67, postée le 04-10-2008 à 19:16:09 (S | E)
par exemple je dois montrer que pour tout n supérieur ou egale à 0
0.1 inferieure ou egale à (un) qui est inférieur ou egale à 3/8
et je doit en déduire que la suite est convergente sachant que
Un + 1 = 1,6 Un(1 - Un)
et U0=0.1
Réponse: Convergence de TravisKidd, postée le 04-10-2008 à 19:55:57 (S | E)
A vrai parler, toute limite est finie. Dire que "la limite est +oo" est un moyen simple de dire que pour tout nombre réel M, il y a un point après lequel tout membre de la suite est supérieur (ou inférieur, au cas de -oo) à M. Mais dans ce cas la suite ne converge pas.
Réponse: Convergence de ismaelidrissi, postée le 05-10-2008 à 04:31:12 (S | E)
la limite d'une suite c'est le terme Un tel que n est très grande m mais le problème qu'on n'a pas de un terme m (en l'appelle l'infini) exacte mais en a bcp de terme une infinité. D'où on a trois cas pour Um:
-la limite de Un change d'un terme à l'autre Un n'a pas de limite.
-la limite de Un reste presque un nombre L la même pour tous ces termes autrement dis plus que n est plus grande plus que la précision est plus bonne pour Un=L on dit que la suite tend vers L et donc la suite est convergente et sa limite est L.
-la limite de Un donc le terme de Um égale à un autre très grande ou petite valeur qu'on ne peut pas la définir = +ou- l'infini.
Une suite converge vers un L ça veut dire dans un certain rang (un m très grand )tous les termes qui suit converge vers ce L.
la fameuse méthode c'est de montrer quelle est croissante et majorée ou bien décroissante et minorée.
N.B le contraire n'ai pas toujours vrai , on peut trouver une suite convergente mais ni croissante et majorée ni décroissante et minorée. J'ai pas d'exemple pour le moment mais si tu es vraiment intéressant tu n'as qu'à le demander.
on prend l'exemple de croissante et majorée:
-croissante veut dire que quel que soit Un le terme suivant est plus supérieur à Un et donc U(n+1)>=Un et U(n+2)>=U(n+1) etc .
-majorée veut dire que Un ne peut pas dépasser un M quel que soit n.
*Les deux cas où la condition "croissante" n'est pas vérifiée:
Un n'a pas de limite : Ex:Un= ((-1)à la puissance n) donc pour n pair Un=1 et pour n impaire Un=-1 dans ce cas Un est majorée par 1 mais elle n'est pas convergente.
la limite de Un est - l'infini : Ex:Un=-n la suite est majorée par 0 mais décroissante.
*Le cas où la condition "majorée" n'est pas vérifiée:
la limite de Un tend vers + l'infini: Ex:Un=n croissante mais pas majorée.^
Réponse: Convergence de ismaelidrissi, postée le 05-10-2008 à 04:49:44 (S | E)
Ma première réponse a été théorique plus que pratique.
Donc en pratique tu vas utiliser que le théorème qui dit :
toute suite croissante et majorée ou décroissante et minorée est convergente.
Ou bien tout simplement -si c'est possible- en calculant la limite de la suite et on vas avoir l'un des trois cas citer dans la première réponses:
-un nombre réel fini donc convergente.
-l'infini donc divergente.
-n'a pas de limite donc divergente.
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Modifié par ismaelidrissi le 05-10-2008 15:15
Réponse: Convergence de taconnet, postée le 05-10-2008 à 09:33:39 (S | E)
Bonjour.
Voici ce que je vous ai proposé de faire :
Pour démontrer que cette suite est convergente, il faut calculer la valeur de la limite L solution de l'équation :
f(L) = L
Ensuite montrer par récurrence que la suite U n est majorée par L.
Si la suite a une limite L alors on doit avoir :
L = 1.6L(1 - L)
soit (L ≠ 0)
1 = 1.6(1 -L) on a divisé les deux membres par L
d'où L = 3/8 ou 0.375
Mais cela n'est pas suffisant pour montrer que la suite Un est convergente.
Il faut montrer maintenant que quel que soit n tout terme de la suite Un est inférieur 3/8
Démontrons le par récurrence :
U0 = 0.1 ══> U0 <3/8
Supposons que Un < 3/8 , prouvons alors que Un + 1 < 3/8
Pour cela déterminons le signe de Un + 1 - 3/8
Un + 1 - 3/8 = 1.6 Un - 1.6 U²n - 3/8
Ainsi le signe Un + 1 - 3/8 est l'opposé du signe du trinôme :
1.6 X² - 1.6 X + 3/8
Je vous laisse le soin de faire le calcul des racines, et le tableau des signes.
Une des racines a une valeur particulière
Soit X et X' ces deux racines. Le trinôme est donc NÉGATIF à l'intérieur des racines .
Donc Un + 1 - 3/8 est NÉGATIF à l'extérieur des racines.
Avec l'hypothèse Un < 3/8
On prouve que Un + 1 < 3/8
Conclusion :
Un est croissante et majorée par 3/8 donc elle est convergente.
Réponse: Convergence de californie67, postée le 05-10-2008 à 18:58:12 (S | E)
merci beaucoup j'ai compris
